Identitas Trigonometri Penjumlahan dan Selisih Dua Sudut

=>  Identitas Trigonometri adalah persamaan-persamaan yang berlaku untuk semua nilai pengganti variabelnya yang mengandung perbandingan trigonometri.

Identitas Trigonometri – Sudut Istimewa, Sifat, Rumus Dan Contoh – Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = “tiga sudut” dan metron = “mengukur”) adalah sebuah cabang matematika yang mempelajari hubungan yang meliputi panjang dan sudut segitiga. Bidang ini muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi.

# Identitas Trigonometri

Jika salah satu satu sudut 90 derajat dan sudut lainnya diketahui, dengan demikian sudut ketiga dapat ditemukan, karena tiga sudut segitiga bila dijumlahkan menjadi 180 derajat. Karena itu dua sudut (yang kurang dari 90 derajat) bila dijumlahkan menjadi 90 derajat: ini sudut komplementer.

# Kegunaan

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.

Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.

Rumus identitas trigonometri menyatakan hubungan suatu fungsi denganfungsi trigonometri lainnya, misalkan fungsi secan yang merupakan fungsikebalikan dari fungsi cosinus. Begitu juga dengan fungsi kebalikan lain.Selain fungsi kebalikan, ada fungsi identitas trigonometri yang jugamenyatakan hubungan antar fungsi trigonometri. Beberapa hubungan persamaan tersebut dapat dilihat seperti berikut.

Sebenarnya, ada banyak fungsi identitas trigonometri. Tiga  identitas trigonometri yang di atas hanyalah sebagian. Rumus tersebut merupakan rumus turunan yang diperoleh dengan menghubungkan satu fungsi trigonometri. 

=> Rumus-Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri

Rumus Untuk Cosinus Jumlah Selisih Dua Sudut :

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

cos (A– B) = cos A cos B + sin A sin B

Rumus Untuk Sinus Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin (A-  B) = sin A cos B– cos A sin B

Contoh soal dan pembahasan identitas trigonometri 

1. Sederhanakan bentuk trigonometri (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β).

Pembahasan

Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.

1 + cot2 β = cosec2 β

⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β

cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β

⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β)

⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β

Setelah digabung kembali diperoleh : 

(1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β)

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β)

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β  

Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β.

2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α.

Pembahasan

Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.

(sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α

⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α

⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α

Selanjutnya :

(sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α

⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1

Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.

3. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α.

Pembahasan

sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α

⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1)

⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α)

⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α

Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α.

Terbukti.

mus Unuk Tangen Jumlah dan Sudut

Rummus Untuk Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :tan A (A + B) = tan A b/1

 – 

 tan A x tan Btan A (A

 – 

 B) = tan A

 – 

 tan B/1 + tan A x tan uRmRus Untuk Tangen Jumlah Da Selisih Dua SRBRumus Untuk Tangen Jumlah Dan Selisih Dua Sudut :tan A (A + B) = tan A + tan B/1

 – 

 tan A x tan Btan A (A

 – 

 B) = tan A

 – 

 tan