Contoh Soal dan Pembahasan

 1. Sederhanakan bentuk trigonometri (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β).

Pembahasan

 Dari pecahan (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.

1 + cot2 β = cosec2 β

⇒ 1 + cot2 β = 1/sin2 β

cot β . sec2 β = (cos β/ sinβ) . sec2 β

⇒ cot β . sec2 β = (cos β/ sin β).(1/cos2 β)

⇒ cot β . sec2 β = cos β / sin β.cos2 β

Setelah digabung kembali diperoleh : 

(1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) / (cos β / sinβ.cos2 β)

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = (1/sin2 β) . (sin β.cos2 β / cos β)

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = sin β.cos2 β / sin2 β.cos β

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cos β / sin β

⇒ (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β  

Jadi, (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β) = cot β.

2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α.

Pembahasan

Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.

(sin α - cos α)2 = sin2 α - 2 sin α. cos α + cos2 α

⇒ (sin α - cos α)2 = sin2 α + cos2 α - 2 sin α. cos α

⇒ (sin α - cos α)2 = 1 - 2 sin α. cos α

Selanjutnya :

(sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α

⇒ (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1

Jadi, (sin α - cos α)2 + 2 sin α cos α = 1.

3. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α.

Pembahasan 

sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α

⇒ sec2 α (sec2 α - 1) = tan2 α (tan2 α + 1)

⇒ sec2 α (tan2 α) = tan2 α (sec2 α)

⇒ sec2 α . tan2 α = sec2 α . tan2 α

Jadi, sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α = sec2 α . tan2 α.

Terbukti.

4. Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari:

a) sin 15°

b) cos 15°

Pembahasan : 

a) Rumus selisih dua sudut untuk sinus

sin (A − B) = sin A cos B − cos A sin B

sin 15° = sin 45° − 30°)

= sin 45° ⋅ cos 30° − cos 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 − 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 − 1/4 √2 = 1/4(√6 − √2)

b) Rumus selisih dua sudut untuk cosinus

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

cos 15° = cos (45° − 30°)

= cos 45° ⋅ cos 30° + sin 45° ⋅ sin 30°

= 1/2 √2 ⋅ 1/2 √3 + 1/2 √2 ⋅ 1/2

= 1/4 √6 + 1/4 √2 = 1/4(√6 + √2)

5. Jika A + B = π/3 dan cos A cos B = 5/8, maka cos (A − B) =….

A. 1/4

B. 1/2

C. 3/4

D. 1

E. 5/4

Pembahasan

Dari rumus selisih dua sudut untuk cosinus:

cos (A + B) = cos A cos B − sin A sin B

Masukkan data soal

1/2 = 5/8 − sin A sin B

sin A sin B = 5/8 − 1/2 = 1/8

Diminta cos (A − B) =….

cos (A − B) = cos A cos B + sin A sin B

= 5/8 + 1/8 = 6/8 = 3/4

5. Hitunglah dengan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut berikut.

• sin 105°

• sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°

Pembahasan / penyelesaian soal

Jawaban soal 1 sebagai berikut

sin 105° = sin (150° – 45°)

sin (150° – 45°) = sin A cos B – cos A sin B

sin (150° – 45°) = sin 150° cos 45° – cos 150° sin 45°

sin (150° – 45°) = 1/2 . 1/2 √ 2 – (-1/2 √ 3 ) . 1/2 √ 2   

sin 105° = 1/4 √ 2 + 1/4 √ 6   

sin 105° = 1/4 ( √ 2 + √ 6 )

Jawaban soal 2 sebagai berikut

sin (75° – 15°) = sin A cos B – cos A sin B

sin (75° – 15°) = sin 75° cos 15° – cos 75° sin 15°

sin (60°) = 1/2 √ 3